Si les carrés magiques ont conquis la planète sous la forme moderne du sudoku, leur histoire commence il y a plus de 5000 ans, avec le premier carré 3 x 3 ou Lo Shu, doté de pouvoirs occultes selon les Chinois. Des ruines de Pompéi aux gravures d'Albrecht Durer, en passant par les temples indiens du XIIe siècle, ils ont été retrouvés dans des lieux parfois inattendus.
Loin d'être futile, le sujet a passionné nombre de mathématiciens dès l'Antiquité. Leurs recherches trouvent souvent des résonances insoupçonnées avec les mathématiques les plus actuelles. Qui sait, par exemple, que les carrés étudiés par Leonhard Euler au XVIIIe siècle sont à la base de techniques de cryptographie, ou encore qu'il existe un lien entre la résolution des sudokus et celle du problème «P = NP», pour lequel un institut américain offre 1 million de dollars ?
Accessible sans connaissances mathématiques particulières, cet ouvrage illustre la richesse et la modernité des carrés magiques. Il propose de multiples exemples ludiques à compléter soi-même, accompagnés de leur solution.

Arno van den Essen est professeur de mathématiques à l'Université de Nimègue aux Pays-Bas.

Laissez-vous entraîner par ce récit émaillé d'anecdotes... au risque d'attraper vous-même la fièvre des carrés magiques !

Le Lo Shu

Notre parcours à la découverte des carrés magiques commence par le récit d'une légende. Vers 2800 avant Jésus-Christ, la Chine a subi d'importantes inondations. L'une des rivières sortie de son lit était le Lo (un affluent du fleuve Jaune). La population apporta des offrandes au dieu de la rivière, dans l'espoir d'arrêter les crues, mais en vain. A chaque offrande déposée sur la rive, une tortue sortait de la rivière et en faisait le tour.
Un enfant fit alors la remarque que la tortue portait un motif très spécial sur sa carapace, comme le montre la figure 1.1.

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Si nous remplaçons les points dessinés dans chaque région du motif par le nombre de points, nous obtenons le carré suivant :

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Ce carré a ceci de magique que les chiffres 1,2,..., 9 sont disposés de telle manière que la somme de tous les chiffres est toujours la même, à savoir quinze, dans chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales. Tout était désormais clair : la divinité de la rivière voulait qu'on lui apporte quinze offrandes, et... ce fut la fin des inondations !

Telle est la légende du plus ancien carré magique au monde, baptisé Lo Shu, ce qui signifie le «livre de la rivière Lo». Ce carré est sans doute le plus ancien jamais découvert. Il est présent dans de nombreuses civilisations. Ce carré est ainsi à la base de l'astrologie Feng-Shui depuis des milliers d'années. Le Feng-Shui associe chacun des neufs chiffres à une énergie vitale précise, le Ki. Traditionnellement, on portait ainsi le Lo Shu comme amulette en Chine et en Inde, pour protéger contre les mauvais esprits, et attirer la chance. Nous retrouvons également le Lo Shu chez les Mayas au sud du Mexique et en Amérique centrale. Il ressurgit au milieu de gravures rupestres préhistoriques dans le nord de la France. Au VIIIe siècle, l'alchimiste musulman Geber pensait même pouvoir utiliser le Lo Shu pour transmuter les métaux en or.
De nos jours, on retrouve ce carré là où on s'y attendrait parfois le moins, comme sur le pont de paquebots de croisière. On fait moins cas de ses pouvoirs magiques, bien qu'en Inde, le Lo Shu retourné

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soit toujours utilisé pour rechercher des personnes disparues : ce carré est alors suspendu dans un arbre dans l'espoir que le personne perdue retourne chez elle. On dit encore que les carrés magiques ont des vertus curatives et le Lo Shu a même été associé récemment au fonctionnement de la molécule d'ADN, dont les secrets ont été révélés dans les années cinquante par Francis Crick et James Watson, lauréats du prix Nobel de médecine en 1962 avec Maurice Wilkens.
Cet ouvrage ne s'attardera pas sur tous ces aspects. Nous développerons plutôt les côtés plus mathématiques des carrés magiques et verrons comment le Lo Shu a été à l'origine d'une quête millénaire de carrés de plus en plus magiques.