Cet ouvrage traite de l'algèbre linéaire en 280 pages et 160 exercices. Il s'adresse aux étudiants en licence de mathématiques et aux étudiants de Master de mathématiques. Parcourant le cycle complet des études en mathématiques, il se présente donc comme l'outil de base du candidat aux concours du CAPES ou de l'agrégation.
Espace vectoriel, déterminant, rang, système linéaire sont présentés sous la forme théorique et algorithmique : les opérations élémentaires sur lignes et colonnes d'une matrice y jouent un rôle important. Le chapitre "Algèbre des endomorphismes, groupe linéaire" étudie de façon déjà approfondie l'aspect groupe et générateurs avec les transvections, le groupe dérivé et les sous-groupes distingués. Sous le titre "Polynôme minimal et polynôme caractéristique", on énonce un théorème de Cayley-Hamilton, version forte qui prépare les outils théoriques et algorithmiques du chapitre suivant. La "Réduction d'un endomorphisme" est présentée de façon élémentaire (i.e. sans utiliser la théorie des modules). Elle conduit à la notion d'invariants de similitude d'un endomorphisme, avec comme conséquence la réduction de Jordan lorsque le corps de base est algébriquement clos. "Vecteurs propres, diagonalisation" est la partie de l'Algèbre linéaire la mieux connue. On y montre la décomposition canonique en diagonalisable plus nilpotent, on y approfondit la recherche numérique de vecteurs propres et, enfin, on y aborde la belle théorie des endomorphismes semi-simples.
Les exercices qui closent chaque chapitre abordent des sujets qui intéresseront le lecteur curieux et aiguiseront sa sagacité ; ils permettent d'aboutir, avec des moyens "élémentaires", à des résultats réputés délicats.

Jean Fresnel est professeur émérite de mathématiques à l'université Bordeaux-1 où il enseigne l'algèbre et la géométrie. Ses recherches portent principalement sur la théorie des nombres et la géométrie algébrique.

Extrait de l'introduction

Cet ouvrage traite de l'algèbre linéaire en 280 pages et 160 exercices. L'objectif essentiel est l'étude des endomorphismes d'un espace vectoriel ainsi que la présentation de méthodes algorithmiques qui permettent de calculer les invariants caractérisant les endomorphismes.

Le chapitre 1, intitulé Espace vectoriel, déterminant, rang, système linéaire, met en place les notions d'espace vectoriel, de base, de dimension, d'application linéaire avec la représentation matricielle et on y donne les résultats essentiels sur la dualité. Ensuite l'outil théorique déterminant est défini autant pour un système de vecteurs que pour un endomorphisme ou une matrice à coefficients dans un anneau commutatif. Le résultat essentiel étant que l'inversibilité du déterminant d'une matrice caractérise l'inversibilité de la matrice. L'algorithme du pivot de Gauss ou les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice sont étudiés de façon intensive, autant sur les matrices à coefficients dans un corps commutatif que dans l'anneau Z ou K [X]. Cet algorithme est remarquablement efficace autant par ses performances numériques que par les résultats théoriques qu'il permet d'atteindre, citons : le calcul du déterminant d'une matrice, le rang d'une matrice avec description explicite d'une base des vecteurs colonnes (ou lignes), les invariants de similitude d'un endomorphisme, la description par générateurs "simples" des groupes Gln(K) et Sln(K). Nous terminons ce chapitre par un paragraphe sur la résolution des systèmes linéaires d'équations à coefficients dans un corps commutatif par la méthode du pivot de Gauss conduisant au système échelonné. N'oublions pas que l'algèbre linéaire pourrait se traiter (ou presque) à travers la résolution des systèmes linéaires. Citons la recherche d'une base du noyau d'un endomorphisme, d'un espace propre, d'un espace caractéristique ; recherche de l'intersection d'hyperplans vectoriels, affines ; recherche de l'inverse d'une matrice, d'une matrice de changement de base ; recherche de polynôme minimal d'une matrice.